[2016년 대화고]

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[2학년 2학기 중간 미적분2]

[eqn: 3 le x le 19]일 때, 함수 [eqn: y=log_{ { 1} over { 3} }(x-1)-2]의 최솟값을 [eqn: m], 최댓값을 [eqn: M]이라 할 때, [eqn: M-m]의 값은? [3.3점]

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 9]

두 함수 [eqn: y=3^-2x], [eqn: y=left( { 1} over {3 } right)^x +6]의 교점을 [eqn: (a,```b)]라 할 때, 모든 실수 [eqn: a]값의 합은? [3.7점]

②

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)= left({1 } over {2 }right)^|x-1| -1]에 대한 설명으로 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.2점]

①

ㄱ. 정의역은 구간 [eqn: (-inf ,```inf)]이고,

치역은 구간 [eqn: (-inf,```0]]이다.

ㄴ. 최댓값은 존재하지만 최솟값은 존재하지 않는다.

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)]는 감소함수이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

그림과 같이 [eqn: 0<a<1]인 실수 [eqn: a]에 대하여 곡선 [eqn: y=log_a x]가 두 점 [eqn: (b,```d)], [eqn: (c,```b)]를 지나고, 직선 [eqn: y=x]와 점 [eqn: (p,```p)]에서 만날 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: 0<b<p<c<1]) [4.8점]

⑤

ㄱ. [eqn: p= { 1} over {3 }]이면 [eqn: a= { 1} over {27 }]이다.

ㄴ. [eqn: a^{d-b}= { b} over {c }]

ㄷ. [eqn: { c-b} over {c-a^c }<{ p-b} over {p-a^c }]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: lim_x->inf left{log_2 (2x-1)-log_2 (x^2 +1)+log_2 (2x+3) right}]의 값은? [4.2점]

⑤

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: lim_x->inf left( { x+1} over { x-1 }right)^x]의 값은? [4.8점]

④

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: e]

④ [eqn: e^2]	⑤ [eqn: e^3]

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극값 [eqn: e]를 갖는다.
[eqn: g(x)=f(x)e^x]을 만족시키는 함수 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: lim_h->0 { g(2h)-e} over { h}]의 값은? [5.3점]

④

① [eqn: e over 4]	② [eqn: e over2]	③ [eqn: e]

④ [eqn: 2e]	⑤ [eqn: 4e]

원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: rmP(4,```-3)]을 지나는 동경 [eqn: rmOP]가 나타내는 각을 [eqn: theta]라고 할 때, [eqn: sintheta], [eqn: cos theta], [eqn: tan theta]의 값을 순서대로 나열한 것은? [3.7점]

③

① [eqn: sintheta= {3} over {5}], [eqn: cos theta = {4} over {5}], [eqn: tan theta = {3} over {4}]

② [eqn: sin theta =- {4} over {5}], [eqn: cos theta = {3} over {5}], [eqn: tan theta =- {3} over {4}]

③ [eqn: sin theta =- {3} over {5}], [eqn: cos theta = {4} over {5}], [eqn: tan theta =- {3} over {4}]

④ [eqn: sin theta = {3} over {5}], [eqn: cos theta =- {4} over {5}], [eqn: tan theta =- {3} over {4}]

⑤ [eqn: sin theta =- {3} over {5}], [eqn: cos theta =- {4} over {5}], [eqn: tan theta =- {3} over {4}]

반지름의 길이가 [eqn: r], 중심각의 크기가 [eqn: theta]인 부채꼴의 둘레의 길이가 [eqn: 24]이다. 이 부채꼴의 넓이가 최대일 때, 반지름의 길이는? [4.2점]

①

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x^2 -2x sintheta+2 sintheta>0]이 성립할 때, [eqn: theta]의 값의 범위는? (단, [eqn: 0 le theta< 2pi]) [4.2점]

②

① [eqn: 0 le theta < { pi} over {2 }]	② [eqn: 0<theta<pi]

③ [eqn: { pi} over { 2}le theta le { 3} over {2 }pi]	④ [eqn: pi < theta< 2pi]

⑤ [eqn: { 3} over { 2}pi le theta <2pi]

좌표평면에서 각 [eqn: alpha]를 나타내는 동경 [eqn: rmOP]와 각 [eqn: beta]를 나타내는 동경 [eqn: rmOQ]가 일직선 위에 있고 방향이 반대일 때, 다음 중 옳은 것은? (단, [eqn: n]은 정수) [4.8점]

④

① [eqn: alpha+beta=2n pi]	② [eqn: alpha-beta=2n pi]

③ [eqn: alpha+beta=(2n+1) pi]	④ [eqn: alpha-beta=(2n+1)pi]

⑤ [eqn: alpha + beta =2n pi + {pi} over {2}]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: 8x ^{2} +4x+p=0]의 두 근이 [eqn: sintheta], [eqn: cos theta]일 때, 상수 [eqn: p]의 값은? [4.8점]

①

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: y=2 cos^2 x-sinx+1]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라고 할 때, [eqn: M+m]의 값은? [5.0점]

⑤

① [eqn: 21over8]	② [eqn: 11over4]	③ [eqn: 23over8]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {25} over {8}]

[eqn: sinalpha= { 3} over { 5}], [eqn: sin beta= { 5} over {13 }]일 때, [eqn: tan left( { alpha+beta} over { 2}right)= { q} over {p }]라 하자. 이 때,
[eqn: p-q]의 값은? (단, [eqn: 0 le alpha le { pi} over {2 }], [eqn: 0 le beta le { pi} over 2{ }]이고, [eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [5.3점]

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)=e^x cosx]에 대하여 [eqn: f`'(pi)]의 값은? [4.2점]

①

① [eqn: -e^pi]	② [eqn: -e]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: e]	⑤ [eqn: e^pi]

[eqn: cos195DEG -cos 105 DEG]의 값은? [4.2점]

③

① [eqn: -sqrt { 2}]	② [eqn: -{ sqrt { 3} } over {2 }]	③ [eqn: -{ sqrt { 2} } over {2 }]

④ [eqn: { sqrt { 6}- sqrt { 2} } over {2 }]	⑤ [eqn: 1]

두 직선 [eqn: 2sqrt { 3} x-2y-5=0], [eqn: sqrt { 3}x+y-2 sqrt { 3} =0]가 이루는 예각의 크기는? [4.2점]

④

① [eqn: pi over12]	② [eqn: {pi } over {6}]	③ [eqn: {pi } over {4}]

④ [eqn: {pi } over {3}]	⑤ [eqn: {5pi } over {12}]

[eqn: 2 sin theta-3 cos theta= sqrt { 13} `cos(theta-alpha)]일 때, [eqn: tan left( { pi} over { 4}+alpha right)]의 값은?
[4.8점]

②

① [eqn: { sqrt { 2} } over {2 sqrt { 13} }]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {sqrt {13}}]

④ [eqn: {2} over {sqrt {13}}]	⑤ [eqn: {3} over {5}]

[eqn: lim _{x-> {pi} over {2}} {sin3x+sinx} over {left(x- {pi} over {2} right) ^{2}}]의 값은? [5.0점]

④

① [eqn: -4]	② [eqn: -{ 5} over {2 }]	③ [eqn: {5} over {2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {9} over {2]

중심이 [eqn: rm { O }]이고, 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 지름의 양 끝으로 하며 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 [eqn: C]가 있다. 그림과 같이 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rm { P }]에 대하여 점 [eqn: rm { O }]를 지나고 직선 [eqn: rmAP]와 평행한 직선이 선분 [eqn: rmPB]와 만나는 점을 [eqn: rm { Q }], 호 [eqn: rmPB]와 만나는 점을 [eqn: rm { R }]라 하자.
[eqn: ANGLErmPAB = theta `` (0 <theta < pi over 2 )]라 하고, 점 [eqn: rm { Q }]와 점 [eqn: rm { R }]를 지름의 양 끝으로 하는 원의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 할 때, [eqn: lim _{theta -> 0+} {{S( theta )} over {theta ^{4}}} = {q} over {p} pi]이다. [eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: rm { barQR <2 }]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 정수이다.) [5.3점]

①

① [eqn: 5]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 21]

서술형

곡선 [eqn: y= { lnx { }] 위의 점 [eqn: (e,```1)]에서의 접선이 곡선 [eqn: y=x^2 +k]에 접할 때, 접선의 방정식과 실수 [eqn: k]의 값을 구하고, 그 과정을 서술하시오. (단, [eqn: e]는 자연로그의 밑이다.) [5.0점]

[eqn: 1over4e^2]

삼각함수의 덧셈정리와 극한을 이용하여 함수 [eqn: y=tanx]의 도함수를 구하고 그 풀이과정을 서술하시오. [5.0점]

[eqn: sec^2 x]

[2016년 대화고]

[2학년 2학기 중간 미적분2]

오타, 오류, 문의사항 : hansungeun@gmail.com